INTRODUÇÃO
Simulink (2018) é um software baseado em diagrama de blocos usado para modelagem, simulação e análise de sistemas dinâmicos. Permite trabalhar com sistemas lineares e não lineares, contínuos ou discretos. Simulink fornece um editor gráfico, bibliotecas de blocos personalizáveis usados para modelar e simular sistemas. É integrado com o MATLAB®, permitindo a incorporoação de algoritmos do MATLAB ao projeto Simulink, e também a exportação dos resultados de simulação.
Esta Atividade consiste em 4 partes: (i) familiarização com o ambiente Simulink. (ii) Criação de um modelo simples de EDO 1ª. Ordem, (iii) Criação e simulação de um modelo
de Sistema de Amortecimento (Massa e Mola), EDO 2ª. Ordem. (iv) Modelagem de um Sistema Elétrico, de acordo com o problema enunciado.
1ª Parte – Familiarização com o Ambiente Simulink
O Simulink é executado dentro do ambiente do MATLAB. Esta Atividade utiliza a versão atual do software (2018). Ao acessar o MATLAB é possível digitar na linha de comando
“Simulink” ou clicar no ícone com esse nome. Posteriormente, será exibida uma tela que permite ao usuário abrir um modelo/template, criar um novo modelo/projeto ou biblioteca, dentre outras possibilidades, conforme Figura 1.
Figura 1: Tela inicial do Simulink.
Durante as Atividades usou-se a opção “Blank Model”. Ao criar um modelo em branco, o Simulink permite o uso de Bibliotecas instaladas através da interface de blocos. A
janela “Simulink Library Browser” mostra do lado esquerdo as Bibliotecas disponíveis, enquanto que à direita são exibidos os blocos correspondentes à biblioteca selecionada, em ordem alfabética, conforme Figura 2.
Figura 2: Visão Geral da Tela do Simulink.
Para a criação de um novo modelo em bloco é necessário selecionar o bloco, clicar e arrastá-lo para a área de trabalho do Modelo. Já para configurar as propriedades de cada
bloco, basta clicar duas vezes sobre o mesmo. Um bloco liga a outro através das setas direcionais.
O processo de criação de um modelo no Simulink segue o Workflow da Figura 3. A sequência de definição do Modelo, Componentes e Layout é imprescindível para a realização dos testes dos componentes.
Figura 3: Workflow das principais tarefas do Simulink – modelo baseado em blocos (SIMULINK, 2018, Cap. I, p. 5).
Os modelos a seguir utilizaram-se das seguintes bibliotecas: Continuous, Math Operations, Skins e Sources.
2ª Parte – Modelo Simples de EDO 1ª. Ordem
O primeiro exemplo trata-se de uma equação matemática referente a uma Equação Diferencial Ordinária, conforme equação abaixo.
O Simulink utiliza algoritmos de integração para resolver as equações numericamente. Dentre os métodos numéricos mais utilizados para resolver integrais, o Simulink faz uso da família Runge-Kutta de 2ª, 4ª e 5ª ordens e do método de Euller.
Para simular a equação EDO de 1ª. ordem (Figura 4), utilizou-se inicialmente o bloco “Sine Wave”, com as configurações: Amplitude = 3 e Frequência=2. O próximo
bloco foi o “Integrator”, disponível na biblioteca “Continuos”, cujo valor inicial foi configurado para -1. O bloco “Scope” fornece a saída visual no formato gráfico, conforme visualizado na Figura 5. Para iniciar a simulação é necessário clicar no ícone “Run”.
Figura 4: Modelo em blocos referente à EDO de 1ª. Ordem
Figura 5: Saída do Modelo EDO de 1ª. Ordem
O resultado da simulação mostrou um Pico igual a 2, um Vale igual a -1 e um período um pouco maior que 3 (aproximadamente 3,169). A solução
3ª Parte Sistema de Amortecimento (Massa e Mola) – EDO 2ª. Ordem
Essa Atividade descreve um sistema mecânico de Amortecimento de Massa e Mola. A ideia principal é avaliar a estabilidade do Sistema, ou seja, superamortecido, subamortecido
ou se a mola nunca para (criticamente amortecido). Esquematicamente podemos representar conforme visto na Figura 6.
Figura 6: Modelo de Sistema Massa-Mola-Amortecimento. Disponível em https://slideplayer.com.br/slide/2377201/.
A equação do modelo de Amortecimento (Massa e Mola) é uma EDO de 2ª. ordem, cujo termo de maior ordem foi isolado para a construção do modelo em blocos no Simulink.
Os parâmetros utilizados no modelo de Amortecimento (Massa e Mola) são: condição inicial 
; para a entrada de 
o valor inicial é zero e o final 3; o valor da massa é 
, o valor de camping 
(constante de amortecimento) e 
. Com isso, criou-se o modelo em bloco de Amortecimento (Massa e Mola) conforme Figura 7.
A localização do bloco Sum está na biblioteca Math Operation, responsável por realizar as operações aritméticas. O componente de Ganho (bloco Gain) também se encontra nessa biblioteca e foi configurado incialmente como 
, referente ao denominador do sistema. Em seguida, foram adicionados dois componentes Integrator, o primeiro calcula a integração equivalente a 2ª. ordem e o seguinte a 1ª. ordem, até o valor final de 
. Após cada integração foi adicionado o bloco de ganho, Damping na segunda ordem e Spring na
primeira ordem. Esses operadores foram invertidos para receber o resultado da integração. Posteriormente, a saída foi ligada ao bloco Scope. O sistema foi então ligado ao operador Sum e realizado a simulação. O resultado gráfico está na Figura 8.
Figura 7 – Modelo de Amortecimento (Massa e Mola)
Figura 8 – Resultado Gráfico do Sistema de
Amortecimento (Massa e Mola)
O modelo em blocos de Amortecimento (Massa e Mola), configurado com os parâmetros acima, apresentou um valor máximo de aproximadamente 3,5 em um tempo de 1,825.
E conseguiu estabilizar em um tempo de 5,425 com o valor final de aproximadamente 3. Esse modelo representa a característica de um sistema superamortecido.
Uma análise mais detalhada mostra que o tempo necessário para o sistema atingir o primeiro valor de estado (Rise Time) foi menor que 1s, ou seja, aproximadamente 815 ms. O valor máximo de resposta (overshoot) foi de aproximadamente 3,5 (3,489). Já o tempo que o sistema demorou em atingir o estado estacionário (setting time) foi a partir de 5,425,
com o valor final (steady state), após o comportamento se dissipar, igual a 3. A Figura 9 ilustra as características do sistema.
Figura 9 – Características do Sistema de Amortecimento (Massa e Mola).
Alteração da Massa
Para a realização dos testes do impacto da massa no Sistema de Amortecimento (Massa e Mola), foram testados os seguintes valores no bloco gain (): 
. Considerando o valor de .
O primeiro resultado, com o ganho de 
, conseguiu atingir em 
o valor igual a 
, ou seja, o sistema ficou mais amortecido (superamortecido). O valor máximo de pico foi igual a . Já com o valor de 
o sistema chegou ao valor máximo de 
em um tempo de 
, o rise time foi menor que o anterior, aproximadamente 
. O sistema conseguiu atingir o setting time em 
com o valor igual a 3, tendo um comportamento com menor amortecimento que o anterior. Com o valor de 
, o valor máximo foi aproximadamente 
e o setting time foi superior a 
, ocasionando um subamortecimento. Por fim, com o valor de 
, o sistema alcançou o valor máximo de aproximadamente 
em 
e não conseguiu atingir um comportamento estável (o sistema não parou).
Pode-se concluir que quando a massa aumenta, diminui o valor máximo e o sistema atinge o a condição de estabilidade mais rapidamente (superamortecimento). Com o valor
de massa menor, o sistema atinge maiores valores de overshoot, ocasionando um subamortecimento. À medida que a massa diminui (tende a zero), o sistema não para. A Figura 10 mostra os resultados gráficos dos testes.
Figura 10 – Testes de valores de massa no Sistema de Amortecimento (Massa e Mola): 
.
Alteração da Constante de Amortecimento
A variação da constante de amortecimento 
, provoca alterações de comportamento do sistema de Amortecimento (Massa e Mola). Os valores testados em são: 
, considerando o valor de . Percebe-se que quando o amortecimento diminui e tende a zero 
, o sistema aumenta o valor de máximo e o número de picos, ocasionando a situação de que o sistema está criticamente amortecido (não para). Já com o valor de 
o sistema atinge o valor de estabilidade (aproximadamente ) em 
, ocasionando um subamortecimento. Com valores maiores de 
, o sistema apresenta o comportamento de superamortecimento, ou seja, atinge o valor de estabilidade igual a em menor tempo. Porém, quando o valor do amortecimento cresce, o sistema não consegue atingir o valor
de estabilidade inferior a em um tempo menor que 
. A Figura 11 mostra o comportamento gráfico da variação dos valores da constante .
Figura 11 – Testes de valores de amortecimento no Sistema de Amortecimento (Massa e Mola): 
.
Alteração do Coeficiente de Elasticidade
A variação do coeficiente de elasticidade (mola) 
, provoca alterações de comportamento do sistema de Amortecimento (Massa e Mola). Os valores testados em são: 
, considerando o valor de
. Percebe-se que quando o amortecimento diminui 
, o sistema aumenta torna-se criticamente amortecido. Quando 
o sistema torna-se mais estável que o anterior, ou seja, consegue atingir em 
o setting time (estágio estacionário). Quando cresce o valor de máximo diminui e o sistema torna-se superamortecido. Com 
o valor máximo diminui (
) e o sistema consegue atingir o setting time em 
, um valor de 
. E, por fim, com 
o sistema consegue atingir o setting time em tempo menor que o anterior, e o valor máximo tornam-se menor que 1. A Figura 12 mostra o comportamento gráfico da variação dos valores da constante .
a) k=0,2 b) k=0,5
c) k=1 d) k=2
e) k=5
Figura 12 – Testes de valores do coeficiente de elasticidade no Sistema de Amortecimento (Massa e Mola): 
.
4ª Parte – Circuito Elétrico Simples RLC
Esta atividade está relacionada à construção de um Circuito Elétrico Simples RLC, em série que possui resistor, bobina e capacitor, conforme esquema visto na Figura 13.
Figura
13 – Esquema de um Circuito Elétrico Simples RLC
Esse Sistema pode ser modelado em duas EDOs de ordem 1, representando a corrente (i) e a potência elétrica (e), conforme equação abaixo:
Os parâmetros adotados são Resistência (
), Bobina (
) e Capacitor (
). Criou-se o modelo em bloco contemplando as duas EDOs e criando a interligação entre elas, pois o valor correspondente a integral da potência abastece a integral da corrente. Os valores de entrada do bloco (Step) foram configurados para inicial igual
a 1 e final igual a 5. A Figura 14 mostra o esquema em bloco para o Circuito Elétrico Simples RLC.
Figura
14 – Esquema em blocos de um Circuito Elétrico Simples RLC
O gráfico da Figura 15 mostra a corrente (i) em função do tempo (t), percebe-se que o máximo valor foi de aproximadamente 
em 
, posteriormente, esse valor decai até 
. O gráfico da Figura 16 mostra a potência (e) em função do tempo (t), percebe-se que a potência aumenta e atinge o valor de 
em 
, mostrando uma curva crescente.
Figura 15 – Corrente x Tempo – Circuito Elétrico Simples RLC
Figura 16 – Potência x Tempo – Circuito Elétrico Simples RLC
Foram testadas a variação dos parâmetros R, L e C no modelo, porém demora um pouco mais para atingir, e menores valores de mínimos. Em contrapartida, quando R aumenta, o valor da corrente (i) diminui e tem menores mínimos, já a corrente (e) cresce mais lentamente. O parâmetro L (bobina), quando diminui aumenta o
valor máximo da potência e aumenta a resistência, diminuindo o seu declínio. Quando aumenta o valor de L, a potência tem declínio mais abruto e tende a zero
e a corrente tem tendência para aumentar e em seguida manter-se constante. A redução do parâmetro C produzir um maior máximo e declínio mais suave da
corrente, enquanto a potência cresce mais lentamente. Ao aumentar o valor de C, temos o aumento da corrente e em seguida chega-se no estágio estacionário. Já a
corrente diminui e tem declínio abruto tendendo a zero.
Foram realizados experimentos com o método tentativa e erro para atingir os seguintes parâmetros: Rise Time inferior a 
, Setting Time inferior a 
, overshoot inferior a 
, para esses testes variou-se os parâmetros R, L e C, conforme tabela abaixo:
|
Trial |
R |
L |
C |
Setting Time |
Overshoot |
Meet Constraints? |
|
1 |
3 |
2 |
4 |
3,232 s |
0,356 V |
Rise Time=613,852 ms. Valor de i não poderá ficar negativo. |
|
2 |
3.5 |
2.5 |
3.5 |
2,508 s |
0,209 v |
Rise Time=631,303 ms Valor de i não poderá ficar negativo. |
Foi possível atingir o resultado de forma satisfatória com a configuração número 2, conforme Figura 17.
Figura 17 – Gráfico Potência x Tempo – Circuito Elétrico Simples RLC conforme especificação ideal.
CONCLUSÃO
Conclui-se que é possível modelar um sistema em blocos para resolver questões de EDO de 1ª e 2ª ordem. Foram testados 3 modelos de Sistemas dinâmicos, sendo o primeiro
uma EDO de 1ª. Ordem simples, o segundo o Sistema de Amortecimento (Massa e Mola) – EDO de 2ª. Ordem e o terceiro um Circuito Elétrico Simples RLC, com duas EDOs de 1ª ordem. A configuração dos parâmetros altera o comportamento do sistema em todos os casos. No Sistema de Amortecimento (Massa e Mola) tem-se que o aumento da massa ocasiona o superamortecido, já quando diminui o amortecimento aumenta o valor de máximo e o número de picos, ocasionando um sistema criticamente amortecido (não para). No modelo de Circuito Elétrico Simples RLC, quando a Resistência (R) diminui, a potência (e) cresce mais rapidamente e a corrente (i) tem maiores valores de máximo. Quando ocorre redução do valor do Capacitor (C), produzir maior valor de máximo e declínio mais suave da corrente (i), enquanto a potência (e) cresce mais lentamente. Por fim, quando o parâmetro referente à bobina (L) diminui, aumenta o valor máximo da potência (e) e a corrente diminui. Os testes mostraram que é possível modelar sistemas de Equações Diferenciais Ordinárias de forma satisfatória no Simulink.
REFERÊNCIAS
SIMULINK, Getting Started Guide, Simulink 9.2
(Release 2018b), MathWorks, September 2018. Disponível em <https://www.mathworks.com/help/pdf_doc/simulink/sl_gs.pdf>.
Acesso em 12 de Março de 2019.